M. BOUAFIA Dahmane

In this paper we discuss existence and multiplicity of positive solutions for a class of second order quasilinear equations with an autonomous
nonlinearity. To obtain our results we will use Ekeland variational principle
and Mountain Pass Theorem

In this paper we discuss existence and multiplicity of positive solutions for a class of second order quasilinear
equations with an autonomous nonlinearity. To obtain our results we will use Ekeland Variational Principle
and Mountain Pass Theorem.

L’ouvrage suivant est une présentation du cours d’analyse 2 pour le deuxième semestre,
pour les étudiants de première année une licence en mathématiques et en informatique.
J’espère aussi que c’est une référence pour les étudiants des classes préparatoires des écoles
supérieures et des ingénieurs comme un rappel au moins des concepts de base et des outils
d’analyse 2.
Dans le premier chapitre, nous présenterons le concept d’équivalence des fonctions, ainsi que
le développements limités des fonctions numériques d’une variable réelle aux voisinage de
zéro, d’un point différent de zéro et au voisinage de l’infini, et nous donner aussi le reste de
le développements limités aux sense de (Lagrange, Cauchy ...) Nous essayons également de
fournir quelques des applications pour le développements limités. Dans le deuxième chapitre,
nous expliquerons le concept d’intégrale définie de Riemann et démontrerons les propriétés de
base de l’intégration des fonctions bornées aussi bien que continues, sur un intervalle borné et
fermé.
Ensuite, nous introduisons le concept des fonctions primitives, nous calculons les fonctions
primitives de certaines fonctions usuelles et nous donnons des méthodes pour calculer
certaines intégrales.
Dans le chapitre trois, nous étudierons les équations différentielles ordinaires et expliquerons
les méthodes de résolution de certaines équations équations différentielles linéaires du premier
et du deuxième ordre. Notez également que nous fournirons quelques illustrations, ainsi que
de nombreux exemples qui ont été résolus. Nous fournirons également à la fin de chaque
chapitre une série d’exercices et de problèmes non résolus, aidant peut-être les élèves à
comprendre l’unité.

In this paper we discuss existence and multiplicity of positive solutions for a class of second
order quasilinear equations with an autonomous nonlinearity. To obtain our results we will use
Ekeland Variational Principle and Mountain Pass Theorem.

Le travail qui suit constitue un exposé du cours d’analyse 1, du premier semestre pour les
étudiants de licence mathématiques et informatique première année. J’espère aussi que c’est
une référence pour les élèves des classes préparatoires aux des écoles supérieur et à l’ingénierie
comme rappel au moins sur les concepts de base et les outils d’analyse 1.
Nous avons présenté dans ce polycopié un rappel de certains concepts d’analyse mathématiques et d’algèbre qui ont été étudiés aux étapes précédentes et ne sont généralement pas
associés à la preuve. Venons-en maintennet à une description plus précise de ce que l’on
trouvera dans ce polycopié.
Dans le premier chapitre, nous donnerons rapidement les propriétés utiles concernant la logique et raisonnements. Nous donnerons, dans le second chapitre, les propriétés des nombres
réels et la définition axiomatique. Nous donnerons également les notions d’un ensemble borné
( majorants, minorants, bornes supérieure et inférieure,...).
Dans le troisième chapitre, nous aborderons et traiterons la construction des nombres complexes, et toutes les propriétés d’un nombre complexe sur la forme algebrique, exponentielle et
trigonométrique. Nous avons aussi cherché des racines carrées, des racines n-ièmes à utiliser
pour résoudre l’équations dans C:
Nous consacrons dans le quatrième chapitre à l’étude les suites réelles et quelques applicationsles, ( les suites bornées, adjacentes et réccurrantes,...ect).
Nous avons également présenté au chapitre cinqième le concept de limite d’une fonction de
variable réelle et les opérations algébriques sur les limites.
Nous avons également présenté au chapitre sixième la continuité d’une fonction de variable
réelle et nous avons donné quelques théorèmes importantes, comme le théorème des valeurs
intermédiaires et ses applications.
Dans le chapitre septième nous avons donné le concept de dérivabilité d’une fonction et nous
avons donné quelques théorèmes importantes, comme le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis,...
Dans le chapitre huitième nous avons donné les définitions et les propriétés principales des
fonctions hyperboliques et des fonctions circulaires inverses.
Notons également que nous avons fourni quelques illustrations, ainsi que de nombreux
exemples résolus. Aussi à la fin de chaque chapitre, nous avons présenté une série d’exercices
et de problèmes non résolus, peut-être que cela s’aidera les élèves à comprendre le module.

Le travail qui suit constitue un exposé du cours d’analyse 1, du premier semestre pour les
étudiants de licence mathématiques et informatique première année. J’espère aussi que c’est
une référence pour les éleves des classes préparatoires aux grandes écoles et de l’Ingénierie et
d’aide-mémoire en ce qui concerne les notions et outils de base de l’analyse 1.
Nous avons présenté dans ce polycopié un rappel de certains concepts d’analyse mathématique
et d’algèbre qui ont été étudiés aux étapes précédentes et ne sont généralement pas associés à
la preuve. Venons-en maintennet à une description plus précise de ce que l’on trouvera dans ce
polycopié.
Dans le premier chapitre, nous donnerons rapidement les propriétés utiles concernant la logique et raisonnements. Nous donnerons, dans le second chapitre, les propriétés des nombres
réels et la définition axiomatique et les notions d’un ensemble borné ( majorants, minorants,
Bornes supérieure et inférieure,...).
Dans le troisième chapitre, nous aborderons et traiterons la construction des nombres complexes, et toutes les propriétés d’un nombre complexe sur la forme algebrique, exponentielle et
trigonométrique. Nous avons aussi cherché des racines carrées, des racines n-ièmes à utiliser
pour résoudre l’équations dans C:
Nous consacrons dans le quatrième chapitre à l’étude les suites réelles et quelques applicationsles, ( les suites bornées, adjacentes et réccurrantes,...ect).
Nous avons également présenté au chapitre cinqième le concept de limite d’une fonction de
variable réel le et les opérations algébriques sur les limites.
Nous avons également présenté au chapitre sixième la continuité d’une fonction de variable
réel et nous avons donné quelques théorèmes importantes, comme le théorème des valeurs
intermédiaires et ses applications.
Dans le chapitre septième nous avons discuté le concept de dérivabilité d’une fonction et nous
avons donné quelques théorèmes importantes, comme le théorème de Rolle et théorème des accroissements finis,...
Dans le chapitre huitième nous avons donné les définitions et les propriétés principales des
fonctions hyperboliques et des fonctions circulaires inverses.
Notons également que nous avons fourni quelques illustrations, ainsi que de nombreux
exemples résolus. A la fin de chaque chapitre, nous avons présenté une série d’exercices et de
problèmes non résolus, peut-être que cela aidera les élèves à comprendre le module.

In this paper, we study the existence of nontrivial solutions for a boundary value
problem on the half-line, where the nonlinear term is sublinear, by using Ekeland’s variational
principle and critical point theory.

In this paper the authors discuss the existence of nontrivial solutions of a
perturbed second order problem on the half-line by Ekeland variational principle.

In this paper the authors discuss the existence of nontrivial solutions of a perturbed second order problem on the half-line by Ekeland variational principle.

Le but de ce travail est d’étudier l’existence, l’unicité et la multiplicité de solutions pour certains problèmes aux limites associés aux équations différentielles ordinaires d’ordres supérieurs et ceci en utilisant plusieurs techniques qui sont basées sur les méthodes variationnelles telles que le lemme du Col, le théorème du point selle ainsi que la théorie des opérateurs fortement monotones. Depuis la naissance du calcul des variations, on s’est rendu compte que lorsqu’ elles s’appliquent, les méthodes variationnelles peuvent obtenir des résultats qui peuvent parfois être plus efficaces que beaucoup d’autres méthodes. Dans ce livre, on présente quelques-uns des travaux qui utilisent la théorie de point critique pour étudier des problèmes aux limites. Beaucoup de nouveaux résultats ont été obtenus récemment par des chercheurs en utilisant cette approche.

Variational principles are very powerful techniques at the interplay between nonlinear analysis, calculus of variations, and mathematical
physics, etc. Since the birth of the calculation of variations, it has been realized that, when applied, variational methods can produce results that
can sometimes be more effective than many other methods. The aim of this work is to study the existence of solutions to some boundary value
problems associated with ordinary differential equations on the half-line where using several techniques based on Ekeland’s variational principles,
the critical point theorems, the minimization theorem, and the Mountain Pass theorem.

We discuss the existence and multiplicity of positive solutions for a class of second-order quasilinear equations.
To obtain our results we will use the Ekeland variational principle and the Mountain Pass Theorem.

n this paper we study the existence of nontrivial solutions for a variational problem on the
half-line. Our approach is based on Ekeland’s variational principle

In this paper, the authors discuss the existence of nontrivial solutions to a perturbed second-order problem
on the half-line. The Ekeland variational principle plays an essential role in the proof.

In this paper we study the existence of nontrivial solutions for a variational problem on the halfline. Our approach is based on Ekeland’s variational principle.

In this paper we study the existence of nontrivial solutions for a variational problem on the half-line. Our approach is based on Ekeland’s variational
principle.
Due to the importance of second order differential equations in physics, the existence and multiplicity of the solutions to those problems have been studied by many
authors. Some of them obtained the existence of positive solutions by employing
of upper and lower solutions, fixed point theorems and topological degree theory
on half-line (see for example [1, 2] and [14, 15, 16]). But there are only a few
papers that consider the problem (1) on the half-line using variational methods, in
particular Ekeland variational principle. We cite ( [17, 18] ) where the authors
consider the existence of solutions for a second order value problems on the half-line
by variational methods. We aim to discuss the existence of positive solutions for
a class of second order boundary value problems on the positive half-line, we shall
use of a Ekeland variational principe.

In this paper, we study the existence of nontrivial solutions for a nonlinear
boundary value problem posed on the half-line. Our approach is based on
Ekeland’s variational principle.